Resolver geometria com números complexos
Você vai aprender a posicionar pontos no plano complexo, montar retas e interseções e calcular ângulos pela diferença de argumentos.
Segunda edição em eBook e livro físico
Números Complexos: um curso através de problemas
Aprenda a usar números complexos em álgebra, trigonometria e geometria, dos primeiros cálculos aos problemas de concursos e olimpíadas.
As resoluções explicam as escolhas e os passos que levam à resposta.
Aprenda a usar números complexos em álgebra, trigonometria e geometria, dos primeiros cálculos aos problemas de concursos e olimpíadas. As resoluções explicam as escolhas e os passos que levam à resposta.
eBook · Capa flexível · Capa dura
10
capítulos, dos fundamentos às aplicações
850+
exemplos e exercícios resolvidos
50+
questões de geometria do Colégio Naval
680
páginas na edição impressa
Colégio Naval 2025 · Exemplo do livro
Como aplicar complexos em geometria plana
O quadrado ABCD tem lado 4, e o problema pede a área do triângulo BJF. Veja como a resolução começa.
Ler a resolução completa →Resolução. Tome a = 0, b = 4, c = 4 − 4i, d = −4i, de modo que e = 2 − 2i. Os lados sucessivos do hexágono giram 60° no sentido anti-horário na orientação indicada.
Para ,
A edição impressa reúne mais de 50 questões de geometria do Colégio Naval, incluindo adaptações. O percurso começa pelos fundamentos de números complexos.
O que este livro entrega
Teoria e problemas se complementam para você compreender os métodos e reconhecer quando usá-los.
Fundamentos
Entenda os fundamentos
Da definição e das operações à forma trigonométrica e ao Teorema de Moivre, acompanhe as demonstrações e pratique antes de combinar técnicas mais avançadas.
Aplicação
Conecte diferentes áreas da matemática
Use potências, argumentos e raízes da unidade para trabalhar com identidades trigonométricas, equações, somas e problemas de contagem.
Concursos
Pratique com questões de concursos
O livro reúne questões de concursos militares e vestibulares organizadas por tema e um capítulo inteiro com resoluções detalhadas para transformar estudo em treino de prova.
Olimpíadas
Problemas olímpicos com resoluções detalhadas
O livro reúne problemas olímpicos selecionados e resoluções comentadas para ampliar repertório, refinar técnica e mostrar como os números complexos funcionam em problemas de nível mais alto.
Geometria
Resolva geometria plana por complexos
Aprenda a escolher um referencial, representar pontos e traduzir relações entre ângulos, distâncias e circunferências em argumentos algébricos, com o apoio de figuras.
Autodidata
Aprenda com as resoluções
As resoluções ao longo do livro explicam por que o método surge, onde ele entra e como reaproveitá-lo em problemas novos. É material para aprender, revisar e voltar depois.
Veja uma resolução por números complexos
Questão Clássica
Triângulo de Langley
Qual é o valor de x?
De Problema Geométrico a Procedimento Algébrico
O Triângulo de Langley é um problema clássico que, por caminhos puramente geométricos, costuma exigir construções auxiliares pouco intuitivas. No livro, a abordagem é outra: posicionar a figura no plano complexo e transformar a questão geométrica em álgebra. A resolução mostra como escolher as coordenadas e usar argumentos para determinar o ângulo pedido.
1
Posicionar o triângulo no plano complexo com A na origem
2
Escrever as retas como direções angulares e calcular interseções
3
Determinar as posições exatas de M e N por partes real e imaginária
4
Calcular o ângulo x pela diferença de argumentos: x = 30°
Langley e três questões do Colégio Naval, com figuras e resoluções completas.
Também nesta amostra
Colégio Naval 2025
Quadrado e hexágono
Rotações de 60° e interseção de retas para calcular uma área.
Ler a resolução no PDF →Colégio Naval 2023
Ângulo entre cordas
Um produto conjugado revela um ângulo que não depende da corda escolhida.
Ler a resolução no PDF →Colégio Naval 2007 · adaptada
Produto de áreas
Direções representadas por potências permitem cancelar termos sem calcular cada ponto.
Ler a resolução no PDF →O que você vai aprender neste livro
Derivar identidades sem decorar fórmulas
Você vai usar a fórmula de Moivre para obter identidades, linearizações e manipulações trigonométricas de forma sistemática.
Usar simetria para somas e produtos difíceis
Você vai transformar raízes da unidade em polígonos regulares e usar essa simetria para resolver somas, produtos e problemas seletos.
Avançar em Chebyshev, ciclotômicos e desigualdades
Você vai estudar polinômios de Chebyshev, polinômios ciclotômicos, filtro das raízes e desigualdades com números complexos para ampliar as ferramentas disponíveis na resolução.
Aplicar o método em provas difíceis
Você vai treinar com questões de ITA, IME, AFA, Escola Naval, EFOMM e Fuvest, com resolução comentada.
Entender por que cada caminho funciona
Você não fica só com a resposta final. As resoluções mostram por que a ideia aparece e como reaproveitar o método em novos problemas.
Geometria
Resolver geometria com números complexos
Você vai aprender a posicionar pontos no plano complexo, montar retas e interseções e calcular ângulos pela diferença de argumentos.
Trigonometria
Derivar identidades sem decorar fórmulas
Você vai usar a fórmula de Moivre para obter identidades, linearizações e manipulações trigonométricas de forma sistemática.
Raízes da Unidade
Usar simetria para somas e produtos difíceis
Você vai transformar raízes da unidade em polígonos regulares e usar essa simetria para resolver somas, produtos e problemas seletos.
Aprofundamento
Avançar em Chebyshev, ciclotômicos e desigualdades
Você vai estudar polinômios de Chebyshev, polinômios ciclotômicos, filtro das raízes e desigualdades com números complexos para ampliar as ferramentas disponíveis na resolução.
Concursos
Aplicar o método em provas difíceis
Você vai treinar com questões de ITA, IME, AFA, Escola Naval, EFOMM e Fuvest, com resolução comentada.
Autoestudo
Entender por que cada caminho funciona
Você não fica só com a resposta final. As resoluções mostram por que a ideia aparece e como reaproveitar o método em novos problemas.
Conheça o livro por dentro
Do básico às aplicações, acompanhe exemplos e resoluções que explicam as ideias por trás de cada problema.
Selecione uma página para ler no PDF.
Conteúdo do Livro
1
Fundamentos Algébricos
Definição formal, operações, conjugado, módulo, identidades fundamentais e desigualdade triangular.
2
Forma Trigonométrica e Teorema de De Moivre
Forma polar, De Moivre e a seção de Polinômios Ciclotômicos: estrutura das raízes da unidade, filtro de Möbius e exemplos progressivos até fatorações de competição.
3
Aplicações Avançadas e Raízes da Unidade
Doze seções de aplicação em trigonometria, com identidades e equações difíceis que viram algoritmos algébricos no plano complexo.
4
Polinômios de Chebyshev
A conexão entre números complexos e polinômios trigonométricos, com aplicações em identidades e equações.
5
Desigualdades Trigonométricas
Completamento de fase, somas de exponenciais e a codificação complexa de triângulos para limpar estimativas de módulo.
6
Geometria no Plano Complexo
Problemas geométricos por via algébrica: rotações, homotetias, colinearidade e circunferências.
7
Problemas Seletos
Problemas olímpicos selecionados de IMO, Putnam, Olimpíada Romena e outras competições internacionais para treino e ampliação de repertório.
8
Resoluções Selecionadas
Resoluções comentadas do bloco olímpico, com foco nas ideias reaproveitáveis e nas escolhas de método.
9
Questões de Concursos
Questões de ITA, IME, AFA, Escola Naval, EFOMM e Fuvest, organizadas por tema.
10
Resoluções de Concursos
resoluções detalhadasResoluções detalhadas das questões do capítulo anterior.
Para quem este livro funciona melhor
O material foi pensado para quem quer construir a base e depois usar números complexos com segurança em problemas difíceis.
É para quem
- Quer aprender números complexos do zero até a forma trigonométrica com uma sequência completa
- Estuda para ITA, IME, AFA, Escola Naval, EFOMM, Fuvest ou olimpíadas e precisa de um repertório forte de questões
- É autodidata e quer um livro que te ensine a pensar e aprender sozinho
- Já viu o assunto antes, mas sente que falta uma base firme para usar complexos com segurança
Como aproveitar a leitura
- Comece pelos fundamentos se o assunto for novo para você
- Tente resolver os problemas antes de consultar as soluções
- Compare sua abordagem com a do livro e observe o que motivou cada escolha
- Retome os exemplos ao encontrar uma ideia semelhante em outro problema
Sobre o Autor
Wallace Santo
Professor de Matemática para ITA e IME desde 2020, Wallace construiu este livro a partir de uma inquietação prática: como ensinar números complexos de forma que o aluno aprenda a pensar nas questões, e não apenas reproduza resoluções prontas. Dessa busca nasceu o Método Sant, que tira o assunto da abstração isolada, conecta a teoria a aplicações reais e desenvolve um tipo de raciocínio cruzado que facilita o aprendizado e muda a forma como o estudante passa a enxergar problemas.
- Professor de Matemática para ITA e IME desde 2020
- Criador do Método Sant para ensinar questões com números complexos
- Autor de Desvendando a Trigonometria com Números Complexos
- Autor de Cálculo: um Curso Prático
- Método aplicado com alunos aprovados em concursos militares
Avaliações de leitores
“Um dos grandes diferenciais desta obra é a solução detalhada e didática dos exercícios, que não apenas apresenta as respostas, mas guia o leitor passo a passo no raciocínio necessário para chegar à solução.”
O livro de Números Complexos do Wallace é uma verdadeira obra de arte didática. O autor demonstra um cuidado excepcional ao apresentar conceitos complexos de maneira progressiva e acessível, fragmentando a teoria em etapas lógicas que facilitam enormemente o entendimento.
Ler avaliação completa
O livro de Números Complexos do Wallace é uma verdadeira obra de arte didática. O autor demonstra um cuidado excepcional ao apresentar conceitos complexos de maneira progressiva e acessível, fragmentando a teoria em etapas lógicas que facilitam enormemente o entendimento.
A estrutura do livro é impecável: após cada explicação teórica, somos apresentados a exemplos resolvidos que consolidam o aprendizado, seguidos por exercícios cuidadosamente organizados por nível de dificuldade.
Um dos grandes diferenciais desta obra é a solução detalhada e didática dos exercícios, que não apenas apresenta as respostas, mas guia o leitor passo a passo no raciocínio necessário para chegar à solução. Essa abordagem torna o livro uma ferramenta indispensável tanto para estudantes que estão tendo seu primeiro contato com números complexos quanto para aqueles que desejam aprofundar seus conhecimentos.
Recomendo este livro a todos que buscam compreender os números complexos de forma clara, estruturada, eficiente e profunda.
Leandro Suter
É um material excelente. A combinação de uma teoria sólida, profunda e progressiva com uma bateria de exercícios (propostos e resolvidos) extremamente bem calibrada faz deste um ótimo livro. Um investimento da qual não me arrependo. Material sensacional!
Alessandra Rozendo dos Santos
Tudo certo.
Guilherme Henrique de Maio
Thiago de Paula e Silva
Excelente livro.
Edmo Correia Fernandes Vieira
Como você prefere estudar?
A segunda edição está disponível em eBook, capa flexível e capa dura. Escolha como prefere ler.
| E-book em PDF | R$ 64,90 |
|---|---|
| Capa flexível | R$ 149,25Frete grátis |
| Capa dura | R$ 190,67 |
Segunda edição
eBookE-book em PDF
Para ler no computador, tablet ou celular e consultar onde estiver.
R$ 64,90
pagamento único · Eduzz
- Acesso imediato após o pagamento
- Parcelamento pela Eduzz
- Garantia incondicional de 7 dias
Comprar eBook na Eduzz
Entrega digital pela Eduzz. Não inclui exemplar impresso.
Segunda edição
Capa flexível
Para estudar no papel e manter seu exemplar sempre à mão.
R$ 149,25
Frete grátis · Compra pela UICLAP
- Segunda edição impressa com 680 páginas
- Envio para o endereço informado na compra
- Prazo e pagamento consultados na UICLAP
Comprar na UICLAP
Consulte o prazo de entrega na UICLAP. O eBook é vendido separadamente.
Segunda edição
Capa dura
Para estudar e ter uma edição em capa dura na sua estante.
R$ 190,67
Compra pelo Clube de Autores
- Segunda edição impressa
- Encadernação em capa dura
- Envio para o endereço informado na compra
Comprar no Clube de Autores
Consulte o frete e o prazo na loja. O eBook é vendido separadamente.
Perguntas Frequentes
O livro ensina o raciocínio completo ou só a resposta?
O raciocínio completo. Cada resolução mostra por que aquele caminho foi escolhido, não apenas os passos mecânicos. O objetivo é que o leitor consiga reproduzir o método em problemas novos, não apenas conferir respostas de problemas conhecidos.
Serve para quem está começando em números complexos?
Sim. O primeiro capítulo parte de definição, operações, módulo e conjugado. A progressão é construída para que o leitor avance das operações básicas às aplicações em problemas de competição. São necessários conhecimentos de álgebra elementar e plano cartesiano.
É avançado demais para vestibular?
Não. Os primeiros capítulos cobrem todo o escopo de vestibulares como Fuvest e Unicamp. Os capítulos avançados, Chebyshev, desigualdades e geometria complexa, existem para quem precisa ir além: ITA, IME e olimpíadas.
Posso estudar sozinho com este livro?
Sim. O livro funciona muito bem para quem é autodidata. A teoria é progressiva, os exemplos resolvidos são extensão direta da teoria, e os exercícios com resolução ajudam a conferir suas tentativas e entender as passagens intermediárias.
Como o livro ajuda na preparação para ITA e IME?
O livro reúne teoria, técnicas de resolução e questões de concursos para aprofundar o estudo de números complexos e suas aplicações. As resoluções permitem comparar abordagens e entender as ideias usadas nas provas.
O eBook também é da segunda edição?
Sim. O eBook e o livro físico são da segunda edição, com a teoria, os exemplos e os exercícios revisados. O PDF tem diagramação própria para leitura digital; por isso, a paginação difere da versão impressa.
Como recebo o eBook?
PDF de alta qualidade, otimizado para leitura em tela e impressão. Após a confirmação do pagamento, o acesso é enviado por e-mail e pela plataforma Eduzz. Automático e imediato.
Como compro e recebo o livro físico?
Você pode escolher a capa flexível por R$ 149,25 na UICLAP, com frete grátis, ou a capa dura por R$ 190,67 no Clube de Autores, com frete consultado na loja. A compra, o prazo de entrega e o acompanhamento do pedido ficam na plataforma escolhida.
O livro físico inclui o eBook?
Não. O eBook é vendido separadamente pela Eduzz. Os exemplares impressos estão disponíveis na UICLAP, em capa flexível, e no Clube de Autores, em capa dura.
Posso parcelar?
Para o eBook, consulte o parcelamento no checkout da Eduzz. Para o livro físico, consulte as condições na UICLAP ou no Clube de Autores, conforme a opção escolhida.
O eBook tem garantia?
O eBook tem garantia de 7 dias pela Eduzz. Se o material não atender às suas expectativas, solicite o reembolso integral pela plataforma. Sem perguntas.
Comece pela base. Avance para as aplicações.
Neste livro, você aprende desde os fundamentos de números complexos até as aplicações em trigonometria e geometria, treina com questões de concursos militares, vestibulares e olimpíadas, e acompanha resoluções detalhadas. Escolha entre ler em PDF ou ter o livro nas mãos.
Comprar o livroeBook · Capa flexível · Capa dura